:: Aprende a convertir coordenadas geográficas en UTM y UTM en geográficas ::

Fecha de Publicación: 20/12/2004

A lo largo de los últimos meses he recibido decenas de correos electrónicos solicitando una fuente de información donde se pudiera aprender cómo convertir coordenadas geográficas-geodésicas en UTM y viceversa. En el foro ya se trató este tema y se dieron diversas referencias bibliográficas, pero lo cierto es que en la red no es fácil localizar ejemplos de desarrollo explicados. Aprovechando que por razones profesionales he tenido que volver a repasar este tema, intentaré crear yo mismo un texto claro y con ejemplos.

Muchas de las preguntas proceden de programadores que quieren localizar un algoritmo para realizar el proceso sin necesidad de saber casi nada de cartografía , GIS o geodesia. Este texto tratará de ser útil para esas personas, explicando cómo realizar todo el proceso necesario para llegar a programar un conversor siguiendo los pasos (todos ellos bien documentados) que a continuación siguen. El objetivo de este texto es, por tanto, que todo el mundo al final de la lectura sea capaz de convertir por sí mismo sus coordenadas. El problema del traslado de datum o cambio de datum no se abordará en este texto, sino sólo el proceso de transformación de geodésicas en UTM y de UTM en geodésicas. Esto implica que las coordenadas geodésicas y UTM han de estar referidas al mismo elipsoide. No obstante, para aprender a realizar el cambio de datum (que es un problema bastante más extenso), el lector puede consultar este artículo donde se explica el procedimiento de cambio de datums en profundidad.

Para mayor claridad de exposición, he incluido una hoja de cálculo en formato Microsoft® Excel con la implementación de los procedimientos descritos al final del artículo. En ella se pueden introducir coordenadas y ver cómo se calculan los diversos parámetros y la solución final, tanto en el problema directo (geográficas a UTM) como en el problema inverso (UTM a geográficas). Creo que la hoja Excel es la forma más apropiada de demostrar la implementación del procedimiento, puesto que permite entender el proceso de cálculo sin necesidad de entender ningún lenguaje de programación. También he incluido al final del artículo un documento en formato PDF con las ecuaciones y los ejemplos realizados paso a paso; dado el tamaño de las ecuaciones y los ejemplos, este documento ha de ser impreso en tamaño A1 con un plotter.

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Entrando ya en contenido, hay que decir que para traducir coordenadas geográficas en UTM y viceversa existen diversos procedimientos. De entre ellos yo destacaría tres métodos como los más utilizados:

  • Utilizando las tablas de la Proyección UTM. Dichas tablas están incluidas, entre otras, en la siguiente publicación: Servicio Geográfico del Ejército de España (SGE), Sección de Geodesia (1976): Proyección Universal Tranversa Mercator, SGE, Madrid. Consta de dos volúmenes: Vol. I: Sistemas conformes. Proyección U.T.M. Cuadrículas y Sistemas de referencia, (220 pp.) y Vol. II: Tablas, (331 pp.)
  • Utilizando las fórmulas de transformación directa del US Army, publicadas en 1973 (véase el USGS Bolletin Num. 1532).
  • Utilizando las fórmulas de Coticchia-Surace, que para mi gusto es el método más fácil de programar. Dichas ecuaciones fueron planteadas por Alberto Cotticia y Luciano Surace en el “Bolletino di Geodesia e Science Affini”, Num. 1, y a ellos debemos la deducción de las ecuaciones que vamos a utilizar en este artículo. La precisión que se puede obtener ronda el centímetro cuando se utilizan suficientes decimales. En consecuencia, es imperativo que a la hora de programar utilicemos variables de coma flotante y doble precisión.

Para entender mejor la aplicación de las ecuaciones de Cotticchia-Surace, realizaremos un ejemplo con los datos del vértice de Llatías (que está cerca de mi casa) sobre el elipsoide de Hayford (también llamado Internacional de 1924).

A continuación iniciamos el proceso de conversión de coordenadas, explicando primero el paso de coordenadas geográficas a UTM (problema directo), y posteriormente el paso de coordenadas UTM a geográficas (problema inverso).

1. CONVERSIÓN DE GEOGRÁFICAS A UTM (PROBLEMA DIRECTO).

Partimos en primer lugar de las coordenadas geográficas-geodésicas del vértice con el que haremos el ejemplo, que como he dicho antes es el vértice de Llatías. Los datos de este vértice están en principio en geodésicas sobre el elipsoide de Hayford (también llamado Internacional de 1909 o Internacional de 1924). Dichas coordenadas son las siguientes:

También vamos a necesitar los datos básicos de la geometría del elipsoide de Hayford. Cuando digo datos básicos me refiero al semieje mayor (a) y al semieje menor (b). A partir de estos datos, aprenderemos a deducir otros parámetros de la geometría del elipsoide que nos harán falta en el proceso de conversión de coordenadas. Así, los datos referentes a los semiejes del elipsoide Hayford son:

Con estos datos ya podemos empezar a operar. En negro se indicarán las ecuaciones originales y en azul los datos correspondientes al desarrollo del ejemplo. Procederemos con las siguientes etapas:

1.1. Cálculos previos:

1.1.1. Sobre la geometría del elipsoide.
1.1.2. Sobre la longitud y la latitud.
1.1.3. Sobre el huso.

1.2. Ecuaciones de Cotticchia-Surace:

1.2.1. Cálculo de parámetros.
1.2.2. Cálculo final de coordenadas.

1.1. Cálculos Previos.

1.1.1. Sobre la Geometría del Elipsoide:

Calculamos la excentricidad, la segunda excentricidad, el radio polar de curvatura y el aplanamiento:

Aprovechamos para calcular también el cuadrado de la segunda excentricidad, pues nos hará falta en muchos pasos posteriores:

Seguimos con el radio polar de curvatura y el aplanamiento:

En realidad, el aplanamiento y la excentricidad (la primera excentridad), no son necesarios para la aplicación de las ecuaciones de Coticchia-Surace, pero las he incluido porque frecuentemente los parámetros del elipsoide se dan como el semieje mayor (a) y el aplanamiento (alfa), o bien como el semieje mayor (a) y la excentricidad (e). En estas circunstancias, conociendo las correspondientes fórmulas podríamos también calcular el parámetro del semieje menor (b).

1.1.2. Sobre la Longitud y la Latitud:

Lo primero que hacemos es convertir los grados sexagesimales (grados, minutos y segundos) a grados sexagesimales expresados en notación decimal (lo que se suele denominar normalmente "grados decimales"). Para ello operamos de la siguiente forma:

Una vez que tenemos la longitud y la latitud en grados decimales, procedemos a su paso a radianes, pues la mayor parte de los pasos posteriores se realizarán con entrada de datos en radianes. Operamos para ello de la forma:

El siguiente paso es calcular el signo de la longitud. Para ello el proceso lógico es muy sencillo:

1.1.3. Sobre el Huso:

Una vez tenemos preparados los datos de longitud y latitud, podemos calcular el huso o zona UTM (UTM Zone) donde caen las coordenadas a convertir, con operaciones muy sencillas:

Con el huso ya conocido, el siguiente paso es obtener el meridiano central de dicho huso. El meridiano central es la línea de tangencia del cilindro transverso.

Pero antes de seguir con los cálculos e introducir más conceptos, vamos a repasar algunos de los elementos principales de la proyección UTM. Así, conviene recordar que en la proyección UTM el cilindro transverso que se usa como superficie desarrollable, se va girando virtualmente para definir los diferentes husos (60) que rodean la tierra.

Se empiezan a contar los husos por el antimeridiano de Greenwich y por eso la parte central de España cae en el huso 30, por estar en el lado opuesto del inicio de la numeración de husos, que queda al otro lado de la tierra.

El meridiano central del huso es muy importante porque es el origen de las coordenadas X. Como el meridiano central dejaría la parte del huso situada a su izquierda con coordenadas X negativas, para evitar eso, se suma a todas las coordenadas X la cantidad de 500.000. Esto hace que no existan valores negativos para las coordenadas X, puesto que se ha realizado un retranqueo del eje X de 500 km.

Y algo semejante se hace para los valores de Y, cuyo origen es el ecuador. Como el ecuador está normalmente más lejos que el meridiano central del huso, las coordenadas Y suelen tener un guarismo más (en el caso de España, las Y son mayores que 4 millones). Si el ecuador es el origen de las Y, toda la parte situada al sur del mismo tendría coordenadas negativas. Para evitar eso, se suma el valor 10.000.000 a los valores de Y, pero sólo en el caso de que se trate de coordenadas pertenecientes al hemisferio sur; si las coordenadas pertenecen al hemisferio norte, no se tocan los valores Y.

Volviendo con el meridiano central del huso, éste también tiene la particularidad de que es automecoico. En teoría, para cualquier latitud que caiga dentro del rango de operación de la proyección UTM (intervalo entre los 84° N y los 80° S), el punto de menor deformación de la proyección UTM es el que para esa latitud se sitúa sobre el meridiano central de su correspondiente huso. En la práctica esto no es del todo cierto, pues la proyección UTM aplica un factor de escala (0,9996) que hace que las zonas de menor deformación pasen a ser las situadas a ± 2° 15' (aproximadamente a 180 km del meridiano central, aunque esta medida varía con la latitud); son las llamadas líneas isométricas, derivadas de la aplicación de este factor de escala (denominado K0) que es una de las principales diferencias entre la Proyección UTM y la Proyección Gauss-Krüger, en la que se basa la UTM en su totalidad.

Expuestos estos conceptos, para saber mínimamente lo que estamos calculando, vamos a retomar los cálculos donde los habíamos dejado. Habíamos dicho que el siguiente paso es obtener el meridiano central del huso en el que caen las coordenadas geodésicas sobre las que operamos. La operación es muy sencilla:

Ahora calculamos la distancia angular que existe entre la longitud del punto con el que operamos y el meridiano central del huso (véase la figura anterior). Es muy importante señalar que ambos datos tienen que ser introducidos en radianes. La longitud ya la habíamos traducido a radianes antes, pero no así el valor del meridiano central que acabamos de calcular. Para convertirlo a radianes multiplicamos por Pi y dividimos por 180:

1.2. Ecuaciones de Coticchia-Surace para el Problema Directo (Paso de Geográficas a UTM).

1.2.1. Cálculo de Parámetros:

A continuación debemos calcular una serie de parámetros que van encadenados unos a otros y que son el núcleo de las ecuaciones de Coticchia-Surace. Son muchas operaciones pero vereis que el proceso es muy rutinario y fácilmente programable:

1.2.2. Cálculo Final de Coordenadas:

Una vez disponemos de todos los parámetros anteriores calculados, procedemos a la solución de las coordenadas UTM finales, de la forma:

Para el caso de la solución de Y es muy importante recordar que si la latitud de las coordenadas geodésicas con las que operamos pertenece al hemisferio sur deberemos sumar el valor 10.000.000 al resultado obtenido. Como en el caso del ejemplo estamos operando con latitudes al norte del Ecuador, no realizamos tal operación:

 

 


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