:: Conversión de datum con el modelo de 7 parámetros Bursa-Wolf ::

Fecha de Publicación: 04/12/2005

Hace unos meses publiqué en esta página un artículo detallando el proceso de transformación de coordenadas geodésicas en UTM y viceversa, pero en ese artículo no se trataba el tema del traspaso de coordenadas que estuvieran referidas a datums diferentes. Es decir, tratábamos el desarrollo del proceso de conversión de coordenadas UTM referidas a un elipsoide determinado (el que fuera), y cuyo destino eran sus coordenadas geodésicas equivalentes sobre el mismo elipsoide de referencia, o bien el proceso inverso. No se abordaba, sin embargo, la posibilidad de que las coordenadas origen estuvieran dadas sobre un elipsoide y que las de destino fueran referidas a otro diferente.

Este proceso, conocido como cambio de datum o traspaso de datum, está enunciado en muchos libros de texto y páginas web, pero sólo se suelen documentar los distintos métodos que existen para su realización con sus correspondientes ecuaciones; yo no he llegado a encontrar un texto con ejemplos en toda su extensión que detallen el proceso de principio a fin. Quizá, debido a la extensión del proceso, que es larga, la mayor parte de los textos encontrados se limitan solamente a plantear el armazón de las ecuaciones, pero no entran en la totalidad del proceso. De esta forma, se pasan por alto numerosos detalles que son importantes para el entendimiento del proceso y su ejecución.

Sé que hay bastantes dudas sobre este tema, así que voy a intentar escribir un texto que describa TODO el proceso de principio a fin, siguiendo un ejemplo concreto y detallado, y adjuntado al final del artículo una hoja de cálculo en formato Microsoft® Excel con la implementación de los procedimientos descritos. Como ya dije en el artículo de conversión de coordenadas, el hecho de adjuntar una hoja de cálculo no pretende que ésta sirva como conversor de coordenadas realmente, sino que sirva para comprender el funcionamiento de las ecuaciones y que facilite a los programadores el desarrollo de los conversores. Creo que esta manera de ejemplificar el uso de las ecuaciones es más fácil de entender que poner código fuente directamente.

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En cuanto a la estructuración del artículo, realizaremos en primer lugar un ligero encuadre teórico de qué es del datum y lo que significa el traspaso de datums; en segundo lugar, enunciaremos los distintos métodos que existen para realizar traspasos entre datums y, en tercer lugar, realizaremos la extensión y ejemplificación de uno de estos métodos: el modelo de ecuaciones de 7 parámetros de Bursa-Wolf, que es uno de los procedimientos más precisos para esta tarea.

1.CONCEPTOS PREVIOS: DATUM Y CAMBIO DE DATUM.

Es necesario realizar un encuadre teórico de lo que significa y lo que implica el traspaso de datum. Para ello, es necesario en primer lugar tomar conciencia de las superficies de referencia que existen en cartografía.

Superficies de Referencia en Cartografía.

El proceso de formación de la cartografía implica una abstracción de la realidad. Necesariamente, tenemos que simplificar la complejidad de la realidad para poder introducirla y grafiarla sobre un mapa. Indudablemente, este proceso de abstracción implica muchos niveles del proceso cartográfico, pero uno de ellos, quizá uno de los más profundos desde el punto de vista teórico, consiste en simplificar la propia superficie de referencia sobre la que trabajamos.

Como es sabido, los mapas necesitan de un modelo matemático (sistema de proyección) que permita el paso de una superficie tridimensional parecida a la esfera (la tierra) a un medio plano como es el papel. Para poder aplicar cualquiera de los modelos matemáticos que permiten tal paso (o sistemas de proyección) es necesario reducir la complejidad de la superficie de la tierra a una superficie de aproximación que sea modelizable matemáticamente. Sería imposible trabajar directamente con la superficie de la tierra, que está plagada de accidentes geográficos como sierras, valles, acantilados, etc. en una sucesión de complejidad infinita.

A partir de esta necesidad de encontrar una primera simplificación de la superficie de referencia de la tierra, los geodestas han ido configurando a lo largo de la historia el concepto de geoide. El geoide podemos imaginarlo como la superficie que observaríamos si el mar estuviera en calma total y en ausencia de mareas, prolongada imaginariamente por debajo de los océanos. Se trata de una superficie equipotencial, es decir, en la cual el potencial de la gravedad es constante en toda su extensión y aunque no existe físicamente (los mares nunca están en calma total, sin mareas y tampoco atraviesan los océanos por debajo) sí es medible y definible a partir de mediciones empíricas.

 

Esta medición del geoide no es fácil de hacer, e históricamente ha sido uno de los principales problemas de la geodesia física. Sin embargo, hagamos un experimento imaginario de cómo podríamos precisar esa superficie. Imaginemos que tenemos un mar en calma y sin mareas e imaginemos que estamos en una balsa flotando sobre ese mar. Sostenemos una cuerda con un peso (una plomada); esa plomada señalará la vertical del lugar (o vertical astronómica) y con la imaginación podemos prolongarla hasta tocar en un punto a la superficie del mar. Justo por ese punto de toque pasaría la superficie del geoide, con la particularidad de que en ese punto del geoide la superficie de éste es perpendicular a la dirección de la vertical del lugar:

¿Y si realizáramos infinitas medidas como la anterior alrededor de todo el planeta? cuantas más medidas realizáramos en estas condiciones más podríamos precisar la superficie del geoide. En cada punto del planeta, la vertical astronómica señalaría en una dirección diferente:

Obviamente, este procedimiento imaginario no es viable desde el punto de vista práctico... Sin embargo, se han desarrollado otros métodos de medición que han evolucionado sobre todo con el advenimiento de la geodesia por satélite. Por ejemplo, esta es una imagen del geoide donde podemos ver las zonas azules como depresiones y las zonas rojas como elevaciones:


Ampliar imagen

¿Montañas y valles en el mar? sí, algo parecido... En la configuración del geoide intervienen muchos factores: la diferente densidad de los materiales, la dinámica de fluidos que rige los complejos movimientos de los materiales fundidos del magma y núcleo del planeta, la fuerza centrífuga de la rotación terrestre... Todo ello influye y hace que la gravedad se presente con un patrón irregular. Por eso es tan difícil delimitar el paso del geoide, y por eso es tan importante conocer el valor de la gravedad para la geodesia física. Ahí está el uno de los puntos de conexión entre la física y la cartografía.

Al observar la imagen de arriba, vemos que el geoide tampoco es una superficie muy regular. Más bien tendría la forma de una especie de patata y sospechamos que con esa configuración, no debe ser fácil modelizar su forma matemáticamente.

Otra rama de la geodesia, la geodesia geométrica, se ha encargado de conseguir una superficie de aproximación más adecuada para su tratamiento matemático: el elipsoide. El elipsoide es una figura tridimensional que intenta reproducir la geometría del geoide, pero con la particularidad de que su superficie sí es modelizable a partir de ecuaciones. Tiene su origen en una elipse a la que imaginariamente hacemos rotar entorno a su eje más corto:

A partir del giro de la elipse sobre su eje menor, se genera el elipsoide de revolución que ya es una figura tridimensional. El elipsoide tiene como parámetros principales la longitud de sus dos semiejes. A partir de ellos se sacan otros valores de su geometría muy utilizados en los problemas geodésicos: el aplanamiento, la excentricidad, la segunda excentricidad, etc. En realidad, comprender la geometría de la elipse y del elipsoide abre las puertas a comprender la cartografía en toda su belleza.

Sobre el elipsoide se miden las coordenadas geodésicas, expresadas en grados, minutos y segundos sexagesimales. Para ello, es fundamental el concepto de vertical geodésica, que es la vertical perpendicular al elipsoide. A partir de ella se fija nada menos que la latitud geodésica (representada normalmente con la letra f ó j (ambos símbolos son en realidad la misma letra griega cuya lectura se pronuncia "fi").

Recapitulando, tenemos tres superficies a considerar: la superficie que vemos de la tierra, el geoide y el elipsoide. Estas tres superficies no coinciden, y de hecho están variando sus posiciones relativas constantemente. A la distancia existente entre un punto del elipsoide y su punto homónimo sobre el geoide se le llama ondulación del geoide, desviación geoidal, o altura geoidal:

Y esta diferencia es muy importante para muchas operaciones cartográficas y geodésicas. Por poner uno de los ejemplos más recurridos, el origen de las altitudes que vemos en nuestros mapas (curvas de nivel, puntos acotados, etc.) se establece normalmente en el geoide. En concreto, se establece en un punto del geoide: por ejemplo, en España el origen de las altitudes cartográficas es el nivel medio del mar en Alicante (NMMA). A estas altitudes medidas a partir del geoide se las denomina altitudes ortométricas.

Por otro lado, existen las altitudes medidas a partir del elipsoide y que se vienen usando en los últimos años y cada vez más porque son las que nos dan las mediciones GPS. Estas altitudes presentan desfases notables con respecto a las ortométricas, puesto que como hemos dicho, la relación de distancia geoide-elipsoide varía constantemente a lo largo de toda la tierra, y eso sucede con cualquier elipsoide considerado. La diferencia -ondulación del geoide- puede llegar a variaciones de cientos de metros.

Al punto tomado como referencia para medir las altitudes cartográficas o cotas Z se le denomina datum vertical. Vemos que ya aparece el término datum, pero no es el datum vertical el que ocupa el presente artículo. El datum que nos interesa en este texto es el datum horizontal.

¿Qué es el datum cartográfico o datum horizontal?

Bueno, ya hemos dicho que la superficie del elipsoide trata de ajustarse a la superficie del geoide en la medida de lo posible. Y también hemos dicho que existen cientos de versiones distintas del elipsoide (cientos de elipsoides, cada uno con sus parámetros de semieje mayor, semieje menor y resto de parámetros derivados). Pero... ¿cómo ubicar tridimensionalmente el elipsoide que consideremos con respecto al geoide? ¿Cómo situar uno con respecto al otro? pueden existir infinitas ubicaciones alternativas...

Eso es precisamente lo que hace el datum: fija el elipsoide a utilizar con sus parámetros geométricos correspondientes (siempre hay un elipsoide asociado a un datum), y establece el punto en el que la vertical geodésica coincide con la vertical astronómica. Es decir, el punto de relación entre geoide y elipsoide, que normalmente se corresponde con un punto de tangencia entre ambas superficies. A ese punto de relación se le denomina punto astronómico fundamental. En el caso de España, hasta fechas recientes el datum que se utilizaba era el datum europeo de 1950 (ED50), que toma como elipsoide de referencia el elipsoide de Hayford (o elipsoide internacional de 1924 ó de 1909), y que establece el punto astronómico fundamental en la ciudad alemana de Potsdam; en concreto, en la Torre de Helmert que existe en el campus universitario de esa ciudad, y que se puede ver en la foto de la derecha. No es casualidad que sea un observatorio astronómico el lugar en que se pone en relación el geoide con el elipsoide. Lógicamente, es necesario conocer con mucha precisión la vertical astronómica para orientar con precisión el elipsoide, pues es el punto inicial de materialización del sistema geodésico de referencia, pero hay una implicación aún más profunda: si la vertical astronómica y la vertical geodésica coinciden, significa que también las coordenadas geodésicas y las coordenadas astronómicas coincidirán. De ahí que los puntos fundamentales de los datums estén frecuentemente en observatorios astronómicos y de ahí procede la estrecha relación entre la astronomía y la geodesia, que se plasma en la rama de la geodesia llamada geodesia astronómica.

La siguiente idea importante es que un mismo punto de la superficie de la tierra, tiene diferentes coordenadas geodésicas en función del datum elegido:

Así, las coordenadas tomadas con GPS (referidas al datum WGS84), pueden diferir cientos de metros de su posición real si equivocamos el datum con el que fueron tomadas. Puede que los valores de las coordenadas sean de buena calidad, pero si el usuario equivoca el datum de referencia, el error cometido puede ser de cientos de metros:

Por tanto, se deduce que conocer el datum de referencia de las coordenadas es un parámetro fundamental para mantener la exactitud cartográfica. Por otro lado, la capacidad de traducir datos cartográficos de un datum a otro es una habilidad que todo geógrafo ha de conocer.

2. TIPOS DE TRANSFORMACIONES DE DATUM.

Existen diversos métodos para realizar el traspaso de unas coordenadas en un datum a otro de destino. Unas operan con coordenadas cartesianas X, Y, Z con referencia al centro geométrico del elipsoide de referencia considerado (no hay que confundir estas coordenadas geocéntricas X Y Z con coordenadas de sistemas de proyección como el UTM); otras, operan directamente sobre las coordenadas geodésicas expresadas en grados, minutos y segundos; por último, otras operan directamente con coordenadas proyectadas, si es necesario.

Las que operan con las coordenadas geodésicas directamente son las Ecuaciones de Molodensky (o Molodenski, porque se ve escrito de las dos formas). De estas ecuaciones existe una versión simplificada denominada comúnmente Abriged-Molodensky, aunque a veces también se refiere como transformación de Molodensky a secas, lo cual introduce una cierta confusión. La versión reducida, viene a ser comparable a lo que veremos a continuación como una transformación de 3 parámetros, es decir, válida para precisiones bajas. La transformación de Molodensky completa es la que ofrece mayores garantías de precisión.

En cuanto a las transformaciones que operan con coordenadas proyectadas directamente (si es necesario), se encuentran las transformaciones polinómicas que emplean expresiones de distinto grado de polinomio para hacer el mejor ajuste entre dos sistemas de coordenadas que no siguen una pauta regular de distorsión entre sí. La versión más sencilla de estas transformaciones sería una transformación afín, que en esencia es la aplicación de un polinomio de orden 1. Lógicamente, una transformación de este tipo poco puede hacer por nosotros ante un problema tan complicado como un cambio de datum... Sin embargo, las transformaciones polinómicas más complejas sí que pueden resolver un complejo cambio de datum. De hecho, en España hace algunas décadas se tuvo que hacer una tarea bastante complicada como fue migrar toda la cartografía del datum de Madrid 1870 (referido al meridiano de Madrid, concretamente con punto fundamental en el centro de la cúpula del Observatorio Astronómico de esta ciudad y que empleaba el elipsode de Struve), al datum europeo unificado de 1950 con punto fundamental en Potsdam y adopción del elipsoide de Hayford. El paso de datum se resolvió usando trasformaciones polinómicas desarrolladas por el Servicio Geográfico del Ejército (SGE). Dichas transformaciones son válidas para el territorio penisular español y están parcialmente documentadas aquí. En aquella época, además, coincidió esta problemática con el cambio de sistema cartográfico de representación de la proyección poliédrica que se usaba hasta entonces a la adopción de la proyección UTM.

Sólo vamos a entrar en profundidad en las transformaciones que utilizan coordenadas cartesianas rectangulares. Veamos qué significa esto.

Las transformaciones que operan con coordenadas cartesianas, requieren que estas coordenadas estén referidas al centro geométrico o de masa del elipsoide. Son lo que en términos geográficos se denominan coordenadas ECEF (Earth Centered-Earth Fixed), que en castellano podríamos traducir como coordenadas geocéntricas fijas (a veces se llaman también coordenadas cartesianas o coordenadas rectangulares). Podemos imaginar el marco de referencia de estas coordenadas, como un sistema tridimensional de ejes con centro en el elipsoide de revolución:

Así, cuando queremos hacer el traspaso entre coordenadas referidas a dos datums diferentes, lo primero que tenemos que hacer es pasarlas a geodésicas; en segundo lugar, pasarlas a geocéntricas; en tercer lugar, hacer el cambio de datum mediante la compensación de las diferencias entre los dos sistemas de ejes cartesianos tridimensionales geocéntricos:

Luego veremos en detalle cómo se ejecuta todo este proceso, pero conceptualmente podemos ver que supone tener que considerar los desplazamientos de los centros, que se descomponen en un incremento de distancia en X, un incremento en Y y otro en Z. También supone tener que compensar los ángulos que forman cada eje con su homónimo en el otro sistema. Si los sistemas de ejes fueran paralelos, estos ángulos serían inexistentes, pero si no lo son, es necesario conocer el ángulo de desviación que presentan entre sí. Y por último, la diferencia de tamaño entre las unidades de un sistema y otro, que se denomina factor de escala. Gráficamente, visualizamos estas diferencias de la siguiente manera:

En el gráfico está sin simbolizar la diferencia en escala entre ambos sistemas. Imaginemos que el sistema de ejes coloreados en rojo toma como unidad el metro; y sin embargo, el otro sistema tiene una unidad equivalente a 0.997 metros; el factor de escala para pasar del sistema verde al rojo sería 1.003; en otras palabras, habría que multiplicar las coordenadas verdes por 1.003

En consecuencia, con la aproximación aquí expuesta son 7 los parámetros que tenemos que considerar para hacer el paso entre los dos sistemas de coordenadas: incrementos de distancia en X, en Y y en Z, rotaciones en los ejes X, Y, Z, y por último el factor de escala.

La mayor parte de la diferencia entre ambos sistemas se compensa teniendo en cuenta la diferencia de los centros (los desplazamientos en el eje X, en el eje Y y en el eje Z). De hecho, una transformación sencilla de datums consiste en pasar las coordenadas geodésicas a geocéntricas y una vez en geocéntricas compensar las diferencias de distancia al origen. Este tipo de transformación, suele denominarse de 3 parámetros y es sólo recomendable para aplicaciones de poca precisión.

Por ejemplo, el conversor de coordenadas en línea que aparece a la izquierda de esta página utiliza una transformación de 3 parámetros para hacer las transformaciones de datum. En ese conversor de coordenadas, la conversión en el mismo datum es totalmente precisa, pero como digo si trasladamos datums el resultado ya no lo es tanto. ¿Por qué entonces se usa una transformación de 3 parámetros si no es precisa? Porque utiliza unos parámetros que son constantes y fácilmente obtenibles; de hecho, existen tablas que proporcionan las diferencias de origen entre datums: en este ejemplo tenemos las diferencias de varios datums con respecto al WGS84.

Para aplicar una transformación de 7 parámetros, sin embargo, no valen unos parámetros genéricos de rotaciones de ejes y factor de escala, sino que es necesario tener unos concretos de la zona sobre la que estamos trabajando. Estos parámetros lógicamente tienen que hacer referencia a la relación geométrica entre los dos datums que vamos a traducir y de su calidad dependen directamente los resultados.

3. TRANSFORMACIONES DE DATUM CON 7 PARÁMETROS.

Dentro de las transformaciones de 7 parámetros usadas en geodesia, existen dos alternativas de formulación y una cierta confusión de nombres. Las dos formulaciones, casi idénticas, son las ecuaciones de Bursa-Wolf y la transformación de Helmert. Son prácticamente iguales y sólo presentan diferencias en la forma de plantear la matriz de rotaciones y sus signos:

En cuanto a los nombres, existen denominaciones alternativas que crean una cierta confusión. Así, hay fuentes que atribuyen la expresión Coordinate Frame a la transformación de Bursa-Wolf y el nombre alternativo Position Vector a la de Helmert (ese criterio asumo yo en este artículo). Sin embargo, otras fuentes a veces refieren estos nombres cruzados e incluso se cruzan también las denominaciones originales con respecto a las fomulaciones de las ecuaciones. Incluso consultando las bases de datos de transformaciones del EPSG (European Petroleum Survey Group, ahora llamado OGP), existe confusión y disparidad de criterios. Pero esto no es del todo importante. Lo importante es saber que dentro de la formulación Bursa-Wolf existe otra variante, y que la forma de contar los ángulos (en el sentido de las aguas del reloj o contrario a las agujas del reloj) es importante para el funcionamiento de las ecuaciones. También, hay que considerar que los paquetes de parámetros tienen un sentido de transformación: consideran un datum origen y un datum destino, y por lo tanto si queremos revertir la conversión hay que variar el signo de los parámetros.

Todas estas consideraciones obligan a una cierta cautela cuando recibimos un conjunto de parámetros para realizar una transformación de datum. A priori es imposible saber a qué tipo de transformación pertenece un conjunto de parámetros sólo con verlos, y también hay que tener cuidado con el sentido de la transformación. Los metadatos, aunque existan, no garantizan esta parte del trabajo, pues como he dicho anteriormente existen diferencias a nivel conceptual y lo que alguien llama a, puede ser b. Se hace necesario, pues, comprobar con las dos variantes de formulación anteriormente expuestas, y hacer pruebas variando los signos. Sobre puntos de control con coordenadas conocidas en los dos sistemas, podemos ver si el funcionamiento es correcto o no, y cuál es el error que nos está dando la transformación.

Por último, y antes de cerrar este punto sobre las transformaciones de 7 parámetros hay que advertir también de sus inconvenientes, al menos a nivel teórico. Las transformaciones de siete parámetros que hemos visto realizan una rotación tomando como punto de rotación el centro del elipsoide. Esto ocasiona que cuando se calculan los parámetros de desplazamiento y giro a partir de una serie de puntos de control con coordenadas en ambos sistemas, exista una alta correlación entre las traslaciones y rotaciones. Para eliminar esta dependencia entre los parámetros, se utiliza una tercera variación de las ecuaciones de 7 parámetros llamada modelo Molodensky-Badekas, que con la adopción de 3 parámetros adicionales pasa a usar un total de 10 en el proceso.

Estos tres nuevos parámetros de la variación Molodensky-Badekas definen el punto de rotación (Xp, Yp, Zp), que puede ser una posición geométricamente representativa de la zona en la que se están traduciendo coordenadas (centroide del polígono de actuación). Este punto se puede sacar por un procedimiento muy simple: sacando la media de las X de todos los puntos de control, la media de las Y y la media de las Z, naturalmente con las coordenadas en el datum origen.

La variante Molodensky-Badekas queda como sigue:

Como es lógico, para usar esta transformación tenemos que tener parámetros deducidos al efecto y no vale aplicar parámetros pensados para un modelo de 7 parámetros. La incorporación de un punto de rotación particularizado requiere de parámetros también con este condicionante extraidos con el modelo arriba representado.

4. LAS ECUACIONES DE BURSA-WOLF EN FUNCIONAMIENTO: UN EJEMPLO DE TRANSFORMACIÓN.

Una vez presentado todo el encuadre teórico anterior, estamos en condiciones de iniciar un ejemplo de conversión de datum y ver todos los detalles en los que aún no hemos entrado.

Utilizaremos la transformación de Bursa-Wolf, propuesta por Bursa en 1962 ("The theory of the Determination of the Non-parallelism of the Minor axis of the Earth and Initial Astronomical and Geodetic meridians from observation of Artificial Satellitea", en Studia Geophysica et Geodetica, vol. 6, nº2) y completada por Wolf en 1963 ("Geometric connection and re-orientation of three-dimensional triangulation nets" en Bulletin Géodésique vol. 68, pp. 65-169). Esta transformación es la más empleada hoy día por los paquetes GIS y aunque arriba hemos hecho matizaciones sobre su uso, ofrece un nivel de calidad más que suficiente para la mayor parte de las aplicaciones.

El ejemplo lo haremos traduciendo las coordenadas de un vértice geodésico del centro de España: el vértice de Carbonera. Las coordenadas de este vértice las conocemos en dos datum distintos, a partir de cálculos realizados por el Instituto Geográfico Nacional. Se trata de uno de los vértices de la red REGENTE, con coordenadas disponibles en ED50 y coordenadas en ETRS89 (~WGS84):
Vértice de Carbonera
X UTM
Y UTM
Altitud
l
j
Datum ED50
448611.14
4377788.61
718.50 (ortométrica, sobre NMMA)
-3º 35' 53''0503
39º 32' 51''2352
Datum ETRS89
448500.79
4377580.93
771.46 (elipsoidal, sobre GRS80)
-3º 35' 57''7335
39º 32' 46''8905

Como se ve, tenemos coordenadas en UTM y en geodésicas, y en los dos datum con los que vamos a trabajar. Hay que decir en este sentido que ETRS89, el nuevo datum unificado que se usa hoy día en Europa, es en la práctica equivalente a WGS84, por lo que el presente ejercicio es asimilable a decir que vamos a traducir coordenadas de datum WGS84 a ED50.

Se trata en todos los casos de coordenadas seguras, en el sentido de que han sido calculadas con una precisión centimétrica o de unos pocos centímetros. Además, he escogido hacer el ejercicio con un vértice geodésico situado en el centro de la Península Ibérica, donde se supone que la red geodésica tiene una mayor robusted, y donde además los parámetros de transformación (también facilitados por el IGN) pueden funcionar mejor.

Dichos parámetros calculados por el IGN se distribuyen en tres conjuntos, cada uno aplicable a una zona de la Península Ibérica:

Los desplazamientos se dan en metros, las rotaciones en segundos sexagesimales (que luego tendremos que transformar a radianes), y el factor de escala en partes por millón (que luego tendremos que dividir por 1 millón, o lo que es lo mismo, multiplicar por 10-6). Estos parámetros sirven para aplicaciones de precisión media, donde el error puede estar entorno al metro o metro y medio. Los parámetros pueden ser de mayor precisión cuanto más reducido es el ámbito.

¿Cómo y dónde conseguir los parámetros de transformación?
Normalmente los usuarios han de solicitarlos para cada zona concreta del globo a su institución nacional o regional encargada de la cartografía y geodesia; para el caso de España, existe una aplicación específica para servir parámetros en la web del Centro Nacional de Información Geográfica. Esa es la forma más fácil de obtener parámetros seguros, pero también podemos deducirlos a partir de los modelos de ecuaciones anteriormente presentados. Tendríamos que conocer múltiples puntos con coordenadas en los dos sistemas y pasaríamos a despejar las incógnitas que serían los términos de rotación, traslación y factor de escala; quizá en un próximo artículo abordemos prácticamente este tema.

En este artículo asumiremos los parámetros denominados "Península" de la tabla arriba expuesta, que como hemos dicho sirven para aplicaciones de media precisión.

El ejercicio que vamos a hacer procede de coordenadas UTM en ETRS89 (~WGS84) y tiene destino en coordenadas UTM pero en un datum de destino diferente (ED50). Para hacer este proceso, necesitamos realizar las siguiente secuencia general:

Paso de UTM en datum origen a Geodésicas en el mismo datum origen.

En un artículo de esta web se explicaba cómo realizar el paso de UTM a Geodésicas en el mismo datum, por lo que no describiremos el proceso. Si el lector precisa conocer dicho procedimiento, puede acceder al artículo aquí.

Tan sólo baste decir que las coordenadas geodésicas correspondientes al vértice de Carbonera son, según el método descrito en el artículo antes referido, las siguientes:

 
Vértice de Carbonera
X UTM
Y UTM
l
j
Datum ETRS89
448500.79
4377580.93
-3º 35' 57''7336
39º 32' 46''8909

Existe una mínima diferencia en las geodésicas calculadas por este procedimiento y las geodésicas anunciadas por el IGN para el mismo punto. Esta diferencia, que como digo es mínima y totalmente compatible con la aplicación, se debe al diferente procedimiento de cálculo.

El valor de las altitudes en el proceso y su cálculo.

Antes de seguir adelante con el proceso, es necesario realizar algunas consideraciones sobre las altitudes. Para operar con transformaciones de datum, necesitamos conocer las altitudes del punto pero sobre el elipsoide. Antes hemos dicho que el elipsoide presenta una diferencia con respecto al geoide que varía en cada punto. También hemos dicho, que las altitudes que nos muestran los mapas suelen ser altitudes medidas con origen en la superficie del geoide (altitudes ortométricas), mientras que los GPS nos suelen dar las altitudes sobre el elipsoide (altitudes elipsoidales).

En la transformación nos hacen falta altitudes elipsoidales, que podemos calcular si conocemos la ondulación del geoide en ese punto:

Dado que:

donde h es la altitud elipsoidal, H es la altitud ortométrica y N es la ondulación del geoide.

Podemos obtener una aproximación a las alturas elipsoidales utilizando un modelo de geoide en línea. Para ello, recomiendo el modelo de geoide EGM96 de la National Geospatial-Intelligence Agency. En este modelo, a partir de las coordenadas geodésicas en WGS84 (~ETRS89), podemos obtener la altura del geoide con respecto al elipsoide WGS84 (~GRS80) en ese punto:


Ver detalle del uso del modelo EGM96

Con este modelo, obtenemos la altura geoidal que es de 53.26 m, luego la altura elipsoidal será:

El número 718.50 sale de la altitud ortométrica dada por el IGN o consultable en los mapas, y que en el caso de España está medida sobre el nivel medio del mar en Alicante (NMMA). El valor h de altitud elipsoidal calculado por este procedimiento no difiere mucho con el calculado por el IGN de forma segura (771.46), y puede ser aceptado como válido para el tipo de aplicación de precisión media que suponemos en este artículo. También podríamos sacar la altlitud elipsoidal de lecturas directas realizadas con GPS de alta precisión sobre el punto.

Por lo tanto, ya tenemos también altitud elipsoidal Z para el punto. Pero... ¿cuál es el valor realmente de las altitudes en el proceso de transformación de datum? ¿Se pueden convertir coordenadas de un datum a otro sin conocer las altitudes elipsoidales?

Bien, yo creo que el valor de las altitudes elipsoidales en el proceso de conversión y si estas son estrictamente necesarias o no depende de la aplicación. En casos como el que nos ocupa en el presente artículo en el que manejamos parámetros válidos para una superficie muy grande de territorio (casi la totalidad de España), y buscamos una transformación con una precisión del orden de un metro o metro y medio, las altitudes elipsoidales no son totalmente necesarias. Digamos que el aporte del eje Z, que tiene un rango de mil y algo metros, es mínimo comparado con los aportes de los ejes X e Y, que tienen rangos mucho mayores.

He plasmado en la siguiente tabla los resultados comparados de las transformaciones para varios puntos de la Península Ibérica. Se comparan los errores de los cambios de datum utilizando altitud elipsoidal y sin usar altitud (osea, suponiendo h = 0). Los errores se sacan de comparar las coordenadas calculadas en ED50 con las coordenadas seguras ED50 del IGN:

Como se puede ver, los resultados casi no varían si usamos altitudes o suponemos estas igual a 0. Las disminuciones o incrementos de los errores (con respecto a las coordenadas ED50 facilitadas por el IGN) son mínimas.

Insisto en que esta afirmación es sólo válida para el caso que nos ocupa. No estoy afirmando que las altitudes elipsoidales no sean necesarias para la aplicación del modelo Bursa-Wolf. En otras situaciones diferentes al escenario planteado en este artículo las altitudes elipsoidales sí son estrictamente necesarias, especialmente cuando operamos con parámetros para áreas de territorio más reducidas.

El recurso de suponer las altitudes elipsoidales iguales a 0 está siempre ahí, pero depende del usuario evaluar la incidencia de este factor en el proceso. A veces puede ser perfectamente válido operar con una altitud = 0 y otras veces no. En este artículo sí utilizaremos la altitud elipsoidal de 771.76 que hemos calculado antes para aplicar el resto del proceso.

Paso de geodésicas a geocéntricas en datum origen.

Anteriormente ya hemos explicado lo que supone pasar las coordenadas geodésicas a geocéntricas. Veamos a continuación cómo se hace el proceso de obtener la X, Y, Z cartesianas geocéntricas (ECEF):

Donde:

Para una mayor claridad expositiva, pasaré a escribir en negro las ecuaciones originales y en color azul las aplicaciones realizadas de estas ecuaciones con los datos concretos del ejemplo.

Conocemos también los datos correspondientes al elipsoide en el que están las coordenadas de origen. Como hemos dicho antes, el datum ETRS89 utiliza el elipsoide GRS80, que es prácticamente igual al elipsoide de referencia del sistema WGS84. Por lo tanto, tomaremos los parámetros de WGS84 como si fueran los mismos que GRS80:

Comenzamos con el cálculo de N:

Aplicando al ejemplo que nos ocupa:

Es importante destacar que tanto la latitud como la longitud han sido pasadas a grados sexagesimales en notación decimal. Sobra decirlo, pero este paso se hace de la forma: grados decimales = grados + minutos/60 + segundos/60/60. Como se puede ver, los datos angulares así obtenidos y correspondientes a la latitud y longitud son también modificados para introducirlos en radianes. Por eso los multiplicamos por el número p (pi) y dividimos por 180. Durante el resto del proceso también deberemos pasar todas las medidas angulares a grados decimales y luego a radianes.

Ahora, ya podemos obtener las coordenadas geocéntricas cartesianas, según las formulaciones expuestas arriba:

Cambio de datum con la aplicación del modelo Bursa-Wolf.

Ahora que ya disponemos de las coordenadas geocéntricas cartesianas ECEF podemos aplicar el modelo de Bursa-Wolf. La aplicación de este modelo no funcionaría directamente sobre coordenadas proyectadas UTM X,Y,Z, por lo que es imprescindible pasar por las geocéntricas.

Ya hemos dicho antes que la formulación del modelo es como sigue:

De lo que se deduce que las soluciones de X' Y' y Z' serían:

Hay que tener en cuenta que los parámetros de transformación nos proporcionan los giros Rx, Ry, Rz en segundos sexagesimales. Deberemos pasar estos segundos a grados decimales y luego a radianes (grados decimales = segundos/60/60; radianes = grados decimales * p / 180). También hay que tener en cuenta que el factor de escala nos viene en partes por millón, por lo que tendremos que dividir la cantidad que nos facilitan por un millón para poder introducirla en el modelo. Teniendo en cuenta esto, transformamos los parámetros originales:

Con los parámetros ya transformados, procedemos a resolver el cambio de datum:

Estas coordenadas siguen siendo cartesianas geocéntricas ECEF, pero están ya en el datum de destino ED50. Hemos realizado el cambio de datum y ahora lo que nos queda es el proceso inverso de conversión de geocéntricas a geodésicas y posteriormente a UTM, con lo que terminaremos el ejercicio.

Paso de geocéntricas a geodésicas en datum destino.

Para el paso de coordenadas geocéntricas a geodésicas, utilizaremos las siguientes fórmulas:

Como vemos, se trata de sacar tres parámetros: latitud geodésica, longitud geodésica y altitud elipsoidal. Para ello, no obstante, debemos calcular previamente diversos parámetros que son necesarios. Como ya hemos realizado el traspaso de datum, estamos operando en el datum de destino (ED50). De este datum, conocemos los parámetros del semieje mayor y semieje menor del elipsoide asociado, que es el elipsoide de Hayford, también llamado Internacional de 1924 ó Internacional 1909. Sus parámetros son:

Aplicando las fórmulas expuestas para el cálculo de la excentricidad al cuadrado y la segunda excentricidad al cuadarado, tenemos:

También podemos calcular los dos valores auxiliares p y q:

Con estos valores, ya estamos en disposición de calcular la latitud geodésica (j), la longitud geodésica (l), según las formulaciones anteriormente expuestas:

Una vez que tenemos latitud y longitud geodésicas, podemos calcular también el valor de N:

Conociendo N, calculamos también la altitud geodésica (h):

Como cabe suponer, la latitud y longitud geodésicas obtenidas están expresadas en radianes, y para obtener su valor en grados sexagesimales dividimos las cantidades obtenidas por el cociente de p/180:

Si pasamos los grados sexagesimales expresados en notación decimal a expresarlos en grados, minutos y segundos, obtenemos las geodésicas finales:

Paso de Geodésicas a UTM en el mismo datum destino.

En un artículo de esta web se explicaba cómo realizar el paso de Geodésicas a UTM con origen y destino en un mismo datum, por lo que no describiremos el proceso. Si el lector precisa conocer dicho procedimiento, puede acceder al artículo aquí.

Tan sólo baste decir que las coordenadas UTM resultantes de la conversión de las geodésicas anteriormente expuestas resultan ser las siguientes:
Vértice de Carbonera
X UTM
Y UTM
l
j
Datum ED50 (convertidas con transformación de 7 parámetros)
448610.60
4377788.16
-3º 35' 53''0728
39º 32' 51''2207

Con estas coordenadas UTM ya convertidas en datum destino hemos concluido el ejemplo de cambio de datum.

5. CONVERSOR DE COORDENADAS EN HOJA DE CÁLCULO EXCEL.

He creado una hoja de cálculo con la implementación de las fórmulas comentadas. Esta hoja, realizada en formato Microsoft® Excel, permite ver cómo se van calculando todos los parámetros en cadena cuando se introducen unas determinadas coordenadas a convertir. En ella se incluyen todos los cálculos descritos (incluido el paso de UTM a geodésicas y de geodésicas a UTM). Incorporan tres juegos distintos de parámetros adecuados todos ellos para la España peninsular, si bien el usuario puede introducir sus propios parámetros de transformación para su región del globo. También se pueden seleccionar diferentes elipsoides a partir de una lista predefinida y con posibilidad de incluir otros nuevos por parte del usuario.

Descarga la Hoja de Cálculo con la Conversión de Datum.

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6. CONCLUSIONES.

Es fundamental para el geógrafo conocer el datum en el que se encuentra cada conjunto de datos, así como tener la habilidad de transformar fuentes de datos de un datum a otro, conociendo las implicaciones, riesgos y condicionantes involucrados en el proceso.

Existen múltiples procedimientos para realizar los cambios de datum. El modelo Bursa-Wolf con transformación de 7 parámetros es una de las posibilidades más extendidas para este procedimiento ya que tiene capacidad suficiente para realizar transformaciones de media y alta precisión.

Si comparamos el resultado de las UTM obtenidas en el ejercicio realizado con las coordenadas calculadas por el IGN de forma segura para el mismo vértice, observamos que los errores cometidos son de 0.54 m en el valor de X y de 0.45 m en el valor de Y. Es decir, el punto calculado con nuestra transformación se encuentra a 0.7 m del punto calculado por procedimientos más precisos por el IGN. Esta magnitud de error es un excelente resultado si tenemos en cuenta la calidad de los parámetros utilizados en el proceso, que como se ha dicho sirven para la mayor parte del ámbito de la Península Ibérica y tienen una precisión anunciada mejor que 1.5 metros.

Los resultados son tan buenos porque estamos operando con un vértice geodésico correspondiente a la parte central de la red geodésica española, y que indudablemente mantiene una calidad mucho mayor que muchos de los vértices geodésicos de las zonas periféricas costeras de España, donde la imposibilidad de compensar de forma óptima la antigua red de triangulación por la presencia del mar impone unas mayores tensiones en la red. Así, hemos realizado pruebas con algunos otros vértices de la red geodésica española situados en estas condiciones periféricas y los errores en la transformación de datum con la metodología que hemos descrito arroja errores bastante mayores, incluso por encima de la precisión estimada para los parámetros utilizados: Garita (en Cantabria) con un error de 1.88 m, Llatias (también en Cantabria), con un error de 2.26 m, Miramundo (en Huelva) con un error de 1.90 m. Esta situación contrasta con las precisiones de los vértices situados en la parte central del país, donde el comportamiento de los parámetros de transformación es sustancialmente superior. Ya hemos hablado del vértice de Carbonera (en Toledo), con un error de 0.7 m, o Los Cerrillos (en Madrid) con un error de 0.35 m.

Esto demuestra la importancia de realizar la transformación de datum con unos parámetros adecuados a nuestra zona y a nuestra precisión. De nada sirve aplicar toda la metodología expuesta anteriormente si no disponemos de los parámetros adecuados y con el nivel de precisión apropiado para nuestra aplicación.

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Gabriel Ortiz.



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