:: Cálculo de Coordenadas y Paralelo de Referencia en la Proyección de Mercator ::

Fecha de Publicación: 02/06/2007

Autor del Artículo:

José Millán Gamboa.

José Millán Gamboa es Oficial de la Armada, Ingeniero Hidrógrafo. Ha impartido clases en los últimos años en la Escuela de Hidrografía de la Armada en el Instituto Hidrográfico de la Marina, en las asignaturas de Geodesia y Topografía, Fotogrametría Aérea, Cartografía Náutica, Carta Electrónica y Derecho Marítimo.
Además, José Millán es autor de varias obras de referencia en castellano en materia de cartografía. Tiene su propia editorial (JM Ediciones: http://www.jmediciones.com) y su último libro "Fundamentos para Cartografía Naútica" puede ser comprado a través de la red con envío al extranjero en este enlace.
José Millán puede ser contactado en josmil@wanadoo.es

 1. CÁLCULO DE COORDENADAS MERCATOR

Las cartas que se utilizan para la navegación, tanto marítima como aérea, cumplen la condición de ser conformes, es decir, conservan los ángulos en cualquier dirección. Así, las líneas que marcan la dirección, entre dos puntos de la representación, son rectas. Esto es especialmente útil para la navegación ya que las derrotas y demoras, se corresponden con líneas rectas, lo que facilita su trazado, el mantenimiento del rumbo, y la medida de distancias entre dos puntos cualesquiera.

Mercator fue el primer cartógrafo que diseñó una proyección de este tipo, que es la que actualmente lleva su nombre. Para su desarrollo partió de una proyección no conforme como es la cilíndrica gnomónica directa (proyección efectuada sobre un cilindro tangente al Ecuador desde el centro de la Tierra, Fig. 1).

Su idea fue la de calcular en qué cantidad debería alterar la distancia entre paralelos de esa proyección, como los A’B’ y C’D’ de la Fig.2, para que las deformaciones de la proyección en la dirección de la latitud fuesen iguales a las existentes en la dirección de la longitud, consiguiendo así la conservación de los ángulos, y por tanto, la conformidad.

Una vez finalizado su desarrollo, llegó a la conclusión de que los paralelos, en el plano de representación, deberían estar separados una distancia infinitesimal igual a la existente entre ellos sobre la superficie de la Tierra pero multiplicada por el factor:

(1)

En (1) es a el semieje mayor del elipsoide que se toma como referencia para la figura de la Tierra, y N la gran normal en el punto de latitud j, que define el paralelo en cuestión, y que se calcula según:

(2)      donde:      (3)

En la que e es el valor de la primera excentricidad del elipsoide y f es el aplanamiento del elipsoide. Para llegar a esta conclusión y las consideraciones que siguen a continuación, se ha tomado y se tomará como superficie de referencia de la Tierra, la del elipsoide de revolución, de manera que las formulas que se exponen sean de aplicación directa para cualquier datum geodésico de referencia que se adopte.

Siguiendo con el desarrollo de Mercator, teniendo en cuenta (1) y efectuando la integral correspondiente para pasar de elementos diferenciales a distancias concretas sobre la Tierra, se deduce que en el plano de representación de la Mercator, las distancias que separan cada paralelo del Ecuador son menores que las correspondientes de la proyección cilíndrica gnomónica directa, tal como se muestra en la Fig.2. El resultado de ese desarrollo da las expresiones analíticas de la proyección Mercator que son:

 (4)

El parámetro F de la segunda ecuación se denomina latitud aumentada o latitud creciente.

De acuerdo a estas fórmulas, se puede afirmar que el sistema de referencia ortogonal OXY (Fig.4), del plano de representación, tendrá su origen en el punto de cruce del meridiano de Greenwich con el Ecuador, ya que para x = 0 e y = 0, han de ser j = 0 y l = 0 (Fig.3). Además, para j = 0 siempre será y = 0, por lo que el eje X coincide con la transformada del Ecuador. Para l = 0 siempre será x = 0, por lo que el eje Y coincide con la transformada del meridiano de Greenwich.

 

Para calcular las coordenadas Mercator en un punto cualquiera como puede ser, por ejemplo, uno central en la península Ibérica, de j = 40º 30’ N y l = 003º 30’ W, sobre un elipsoide WGS84 en el que a = 6.378.137 m y f = 1/298.257223563, se hará:

Las coordenadas así obtenidas se medirán, en la carta mercatoriana, desde el cruce de las transformadas del meridiano de Greenwich y del Ecuador según el sistema ortogonal cartesiano OXY de la figura anterior.

Estas expresiones verifican las condiciones de contorno que Mercator estableció para la proyección que hoy lleva su nombre:

  • La transformada del Ecuador es una línea recta a lo largo de la cual se conservan las distancias.
  • Las transformadas de los meridianos son líneas rectas, paralelas y equidistantes entre ellas, normales a la transformada del Ecuador.
  • Las transformadas de los paralelos son líneas rectas, paralelas a la transformada del Ecuador, es decir, normales a las transformadas de los meridianos.
  • La proyección es conforme.

 2. EL PARALELO DE REFERENCIA

Cuando se ha de realizar la representación de una zona concreta alejada del Ecuador, como podría ser, por ejemplo, una carta que cubriera las aguas próximas a la península Ibérica, los marcos de la representación se elegirán de tal forma que abarquen solamente esas aguas, descartando representar otras zonas más alejadas. Así, resulta que en el área cartografiada no aparecerá la línea automecoica de representación, que sirve como medida de escala verdadera, y que de acuerdo a las condiciones de contorno establecidas para la proyección de Mercator, es la línea del Ecuador. Fuera de esta línea automecoica, el concepto general de escala es irreal, ya que en una misma representación no existe un valor fijo para ella en todos los puntos, sino que la escala varía, en general, de un punto a otro. En el caso de la proyección Mercator este efecto se ve acentuado en casos como el expuesto para la península Ibérica, demasiado alejada del Ecuador.

Para evitar este inconveniente, y reducir estas variaciones de escala, se recurre al artificio de la reducción de las coordenadas mediante un factor de reducción de escala que no altera la conformidad ni la naturaleza de la representación, pero que afecta a todos los elementos lineales y superficiales, de forma que actúa como un factor multiplicador de la escala original E que provoca que la escala real E’, en un punto cualquiera de la representación presente menores variaciones. Este artificio, consiste en variar la primera de las cuatro condiciones de contorno establecidas, en el sentido de que la línea recta a lo largo de la cual deben conservarse las distancias, sea la transformada de un paralelo que pase por la zona a representar, en lugar de la transformada del Ecuador. Al paralelo así elegido se le denomina paralelo de referencia, y su latitud se suele representar por f0. Para materializar este artificio, bastará con efectuar la proyección sobre un cilindro secante a la esfera en ese paralelo f0, en lugar de utilizar un cilindro tangente en el Ecuador.

Si la zona a representar se encuentra en las proximidades de un punto A como el de la Fig.5, se utilizará un paralelo de referencia f0, que puede ser aquel cuya latitud es la del punto A. El cilindro secante, por tanto, lo será justo en esa latitud, de forma que su intersección será exactamente el círculo del paralelo de A. Considérese el elipsoide inscrito en él, si el elipsoide terrestre original tenía un semieje mayor a, este nuevo elipsoide tendrá un semieje mayor a’, que tendrá por valor:

(5)

El elipsoide así definido, es un sistema de elipsoide y cilindro tangente que posee las mismas propiedades con las que se ha definido la proyección de Mercator, y por tanto, es igual de válido para representar cualquier zona del elipsoide original. La única diferencia existente, es el valor del semieje mayor antes y después de considerar el cilindro secante. Esta diferencia vendrá determinada por la relación matemática entre ellos, comportándose como un factor de escala que indica que la proyección se realiza en un modelo de similares propiedades, pero de distinto tamaño. Así, las fórmulas de correspondencia (4) adaptadas para el caso del elipsoide inscritos al cilindro secante, siendo N el valor de la gran normal en A, tendrán la forma:

(6)

Para estas fórmulas (6), el origen de abcisas será el meridiano de Greenwich y el origen de ordenadas será el Ecuador, pero en ambos casos, establecidos sobre el elipsoide inscrito. Es decir, las coordenadas x e y así obtenidas, estarán medidas sobre modelos distintos a los del elipsoide original, por lo cual sólo serán comparables a través del mencionado factor de escala que los relaciona:

(7)

 Ejemplo:

Calcular las coordenadas Mercator para el lugar del ejemplo anterior de j = 40º 30’ N y l = 003º 30’ W, utilizando un paralelo de referencia en la latitud de f0 = 35º 14’ 30” N sobre un elipsoide WGS84 en el que a = 6.378.137 m y f = 1/298.257223563.

Como primer paso se determinará el valor de la excentricidad e y e2, de acuerdo a (3):

Y por tanto:

A continuación, con (2) se calculará el valor de la gran normal N para la latitud del paralelo de referencia:

Con estos valores y las formulas de correspondencia (6) se obtendrán las coordenadas buscadas:

Como puede observase, para el mismo punto del ejemplo anterior, al utilizar el paralelo de referencia, se obtienen unas coordenadas distintas, con valores absolutos de x e y menores. Es debido a la reducción de escala producida por el empleo del paralelo de referencia, que tiene el significado intuitivo de estar utilizando un modelo de proyección de distintas dimensiones. Este efecto tiene su importancia a la hora de representar, en Sistemas de Información Geográfica, información náutica procedente de cartografía náutica que emplean distintos paralelos de referencia, lo cual es frecuente. Las coordenadas de los elementos geográficos contenidos en cartas con distintos paralelos de referencia, no son comparables, por proceder de modelos distintos. Por tanto, para su correcta representación en un SIG y efectuar comparación en solapes, etc., previamente se debe deshacer este efecto, transformando las coordenadas al modelo original de cilindro tangente en el Ecuador en cada una de las cartas empleadas. Para ello, bastará con dividir las coordenadas obtenidas en este ejemplo por el factor de escala (7), obteniéndose así las del ejemplo anterior.

Autor del Artículo:

José Millán Gamboa.

José Millán Gamboa es Oficial de la Armada, Ingeniero Hidrógrafo. Ha impartido clases en los últimos años en la Escuela de Hidrografía de la Armada en el Instituto Hidrográfico de la Marina, en las asignaturas de Geodesia y Topografía, Fotogrametría Aérea, Cartografía Náutica, Carta Electrónica y Derecho Marítimo.
Además, José Millán es autor de varias obras de referencia en castellano en materia de cartografía. Tiene su propia editorial (JM Ediciones: http://www.jmediciones.com) y su último libro "Fundamentos para Cartografía Naútica" puede ser comprado a través de la red con envío al extranjero en este enlace.
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